已经看不懂了

教育非得搞成这个样子吗

看不懂

关键这题有17分，如果学生连题目都看不懂，基本数学120都是奢望了啊

人还是太多了

这不就是新高考的改革方向么，越来越多大学基础的微积分、线代、概率论下放，知识的广度增加打击只会刷题的机器。
选修里的内容考的会越来越多的，现场给定概念让你现学现用的灵活题也是考察考生的知识面、有没有快速理解消化能力。
Ps：高考改革的太慢了，去做做印度大学、韩国、日本大学出的“高考题”，中国高中数学太老套陈旧、知识面太窄了，考来考去就是些数列不等式缩放、圆锥曲线暴力运算这种玩意，已经远远不能满足大学里哪怕一年级对现代数学能力的要求了。

还好吧，高中压轴题考点大一的东西不是很正常

这是概率论与数理统计的内容吧？

（1）
P(X=k)=p(1-p)^(k-1)
E(X)=p+2p(1-p)+3p(1-p)^2+4p(1-p)^3+....np(1-p)^n-1(n->∞) 手上没笔和纸，化简一时没思路
（2）没耐心仔细看，不愿意烧脑子了

@dengwoxi001 为啥说中国高中数学老套陈旧？？？全世界各国从小学到大学本科，所学的基础数学，包括你说的微积分、线代、概率论，不都是一两百年前就发现出来的陈旧定理么？难道最近十几年，基础数学定理被大面积推翻了？？？

500万人口的新西兰考不考这玩意？

记得以前看到过刚开放后的考试题目，那叫一个easy。。

高中数学最后一题？我们老师当时直接让我们放弃的，顶多只做一问就行，因为后面几问经常会用到超纲的东西，把前面会做的保证都做对就行

最后一题不就是用来做区分度的么

@jin2022 思路是对的，错一问也能拿140分（第一问5分送分）
最后一问留给那些奥赛选手滴，自从改全国卷之后，湖北的数学 英语难度降低了不少
跟河南一比，高分段人数基本跟河南差不多（甚至还多一点点），虽然河南报考人数多，河南考生大部分集中在一本线贼多（巨量，原来的二本线附近）

这道题是关于几何分布的两个问题。以下是详细的求解过程和答案。

问题 (1)

对于正整数 ( k )，求 ( P(X = k) ) 并根据 ( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} kP(X = k) ) 求 ( E(X) )。

解答：

1. 几何分布的概率质量函数：
   设成功的概率为 ( p )，失败的概率为 ( q = 1 - p )。那么几何分布的概率质量函数为：
   [
   P(X = k) = (1-p)^{k-1}p = q^{k-1}p
   ]
   其中 ( k ) 为正整数。

2. 期望值的计算：
   利用几何分布的性质，期望值 ( E(X) ) 可以通过求和公式来计算：
   [
   E(X) = \sum{k=1}^{\infty} k P(X = k)
   ]
   代入 ( P(X = k) = q^{k-1}p )：
   [
   E(X) = \sum{k=1}^{\infty} k q^{k-1}p
   ]
   提取 ( p )：
   [
   E(X) = p \sum{k=1}^{\infty} k q^{k-1}
   ]
   这个求和公式有一个标准结果：
   [
   \sum{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad \text{对于} \ |x| < 1
   ]
   在这里 ( x = q = 1 - p )：
   [
   \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{p^2}
   ]
   因此：
   [
   E(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
   ]

结论：
[
E(X) = \frac{1}{p}
]

问题 (2)

解答：

(i) 求 ( E_2 )：
设首次出现连续两次成功所需的试验次数的期望为 ( E_2 )。

考虑以下过程：
- 进行第一次试验，如果失败，试验次数增加1次，重新开始，即期望为 ( E_2 + 1 )；
- 如果第一次试验成功，进行第二次试验：
- 第二次试验失败，总试验次数为 ( E_2 + 2 )；
- 第二次试验成功，总试验次数为2次。

因此，期望 ( E_2 ) 满足以下递推关系：
[
E_2 = (1-p)(E_2 + 1) + p((1-p)(E_2 + 2) + p \cdot 2)
]
展开并整理：
[
E_2 = (1-p)E_2 + (1-p) + p(1-p)(E_2 + 2) + p^2 \cdot 2
]
[
E_2 = (1-p)E_2 + (1-p) + p(1-p)E_2 + 2p(1-p) + 2p^2
]
[
E_2 = E_2 - pE_2 + (1-p) + pE_2 - p^2E_2 + 2p(1-p) + 2p^2
]
[
E_2 = E_2(1 - p^2) + 1 - p + 2p - 2p^2 + 2p^2
]
[
E_2 - E_2(1 - p^2) = 1 - p + 2p
]
[
E_2 p^2 = 1 + p
]
[
E_2 = \frac{1 + p}{p^2}
]

(ii) 求 ( E_n )：

( E_n ) 表示首次出现连续 ( n ) 次成功所需的试验次数的期望。

类似地，可以得到递推关系：
[
En = (1-p)(E_n + 1) + p E{n-1}
]

利用上述关系和 ( E_1 = \frac{1}{p} )，可以递归求出 ( E_n )。

总结，这两个问题分别给出了几何分布中试验次数的期望值和递归方法求解首次出现连续成功所需试验次数的期望值。

选拔性考试，爱怎么折腾怎么折腾

有人能发给chatgpt做吗？

好像有点像病毒的感染复数模型

没毛病，数学压轴题本身就是给985/211学霸出的，大部分学生就是写个解：

市调出这个正常，本来就是来摸底的

@irving2016 ，全世界先进的数学选拔考试的趋势已经很明显了，国内高考走偏了很多年，导致既选拔不出数学人才，又掌握不了大学理工科的数学基础知识。
前些年删掉了很多以前的考点，学的越来越少，导数、极限也就点到为止。复数那么有用的就考个选择题送分。
现在很多高中内容比如圆锥曲线这种真是屁用都没有，理工科需要用到这玩意的估计就天文物理，这种没用的东西还喜欢出大题搞复杂计算就考计算能力。
不如多学点微积分、线代，高中生能掌握三大中值定理、高阶求导，解决高中的求零点、极值问题简直就是砍瓜切菜般简单。凡导数洛必达现在都成梗了，有先进工具不用尽搞些奇技淫巧、偏计算、毫无逻辑的玄学解题技巧害人。
现在的高考几乎是纯初等数学，大部分人上了大学连大一下的复变函数都学不明白，有些自我感觉良好的报数学专业刚上数学分析就傻眼了。高校偏爱竞赛生不是没道理的，高考生知识面太窄根本选不出真正有天赋的人。

吓死了，一开始还以为是初中，还好是高中

@testicles #15 140很少人拿到了，130差不多，我们老师给我们定的目标是130，的确只要保证会做的不错，130就差不多，主要前面小题6分一个分值太大了

@dage110 #14 130分以上区分度才是最后一题，130分以下的大多数人区分度都是前面的题，会做的题疏忽了才最拉分，后面一题没几个人能做出来，前面6分一个

最后一题可以说是留给清北的学生做的，起码top10 985吧，因为本人211都是高中数学老师教着放弃最后一题考上的，最后一题在班上只有那么一两个同学偶尔能全做出来，除非每次都能考130以上，不然没必要把时间浪费在这种题目上

像我这种一点数学天分都没有，智商中等偏低的人把老师说的那句话“把送分题都拿到数学高考120分一点都不难”听进去了，参加了两次高考，第一次数学考了114，第二次数学122。两次最后一题压轴题都没动，因为知道自己做不了。考前老师给我定的目标是：选择填空题允许错1-2题，最后一题，看情况能做就做一问，不能做就放弃坚决不纠缠浪费时间，其他地方争取不失分。这样就能保证120好的情况下能到130。

高中数学考试最后一题最后一问从来不做, 高考时我连看都没细看, 有自知之明就我这水平铁定做不出来, 别说思路方法, 就是那计算量也不小. 空出来的时间检查前面的去了, 最后考了130.

做了快半个小时，主要是好多知识点都忘了，
最后一题答案推出来是(1-p^n)/[p^n*(1-p)]，
验证n=2的特殊情况时，E2=(1+p)/p^2

知识点是超纲，解题技巧不算超纲，做倒是能做出来，但是考试的时候受心态和时间影响，很难拿全分

坛里大神还是多啊，我这种渣渣题目都看不懂，惭愧惭愧

@majia45 你的第二步递归En = (1-p)(En + 1) + p E{n-1}错了。
应该是 En = p(En + 1) + (1 - p) (En + E{n-1} +1) = (1 - p)En + E{n-1} + 1,
也就是 pEn = E{n-1} + 1,
这就很好解了，En = (1-p^n)/{p^n(1-p)},
带入n=1或2都可以验证是对的

@eventloop 就你对试卷的理解和考试过程的规划，不是学霸也是准学霸

大神多，难怪年薪50万起步。