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这道题是关于几何分布的两个问题。以下是详细的求解过程和答案。
对于正整数 ( k ),求 ( P(X = k) ) 并根据 ( E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} kP(X = k) ) 求 ( E(X) )。
几何分布的概率质量函数:
设成功的概率为 ( p ),失败的概率为 ( q = 1 - p )。那么几何分布的概率质量函数为:
[
P(X = k) = (1-p)^{k-1}p = q^{k-1}p
]
其中 ( k ) 为正整数。
期望值的计算:
利用几何分布的性质,期望值 ( E(X) ) 可以通过求和公式来计算:
[
E(X) = \sum{k=1}^{\infty} k P(X = k)
]
代入 ( P(X = k) = q^{k-1}p ):
[
E(X) = \sum{k=1}^{\infty} k q^{k-1}p
]
提取 ( p ):
[
E(X) = p \sum{k=1}^{\infty} k q^{k-1}
]
这个求和公式有一个标准结果:
[
\sum{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad \text{对于} \ |x| < 1
]
在这里 ( x = q = 1 - p ):
[
\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{p^2}
]
因此:
[
E(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
]
结论:
[
E(X) = \frac{1}{p}
]
(i) 求 ( E_2 ):
设首次出现连续两次成功所需的试验次数的期望为 ( E_2 )。
考虑以下过程:
- 进行第一次试验,如果失败,试验次数增加1次,重新开始,即期望为 ( E_2 + 1 );
- 如果第一次试验成功,进行第二次试验:
- 第二次试验失败,总试验次数为 ( E_2 + 2 );
- 第二次试验成功,总试验次数为2次。
因此,期望 ( E_2 ) 满足以下递推关系:
[
E_2 = (1-p)(E_2 + 1) + p((1-p)(E_2 + 2) + p \cdot 2)
]
展开并整理:
[
E_2 = (1-p)E_2 + (1-p) + p(1-p)(E_2 + 2) + p^2 \cdot 2
]
[
E_2 = (1-p)E_2 + (1-p) + p(1-p)E_2 + 2p(1-p) + 2p^2
]
[
E_2 = E_2 - pE_2 + (1-p) + pE_2 - p^2E_2 + 2p(1-p) + 2p^2
]
[
E_2 = E_2(1 - p^2) + 1 - p + 2p - 2p^2 + 2p^2
]
[
E_2 - E_2(1 - p^2) = 1 - p + 2p
]
[
E_2 p^2 = 1 + p
]
[
E_2 = \frac{1 + p}{p^2}
]
(ii) 求 ( E_n ):
( E_n ) 表示首次出现连续 ( n ) 次成功所需的试验次数的期望。
类似地,可以得到递推关系:
[
En = (1-p)(E_n + 1) + p E{n-1}
]
利用上述关系和 ( E_1 = \frac{1}{p} ),可以递归求出 ( E_n )。
总结,这两个问题分别给出了几何分布中试验次数的期望值和递归方法求解首次出现连续成功所需试验次数的期望值。
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