7岁的陶哲轩在上高二数学课

今年四月的一天，加州大学洛杉矶分校一间不起眼的办公室外面，学生们迈着悠闲的步子，而在办公室里面，数学家陶哲轩正思忖着水自发爆炸的概率问题。一组被广泛运用的方程描述了流体（比如水）的特性，但他告诉我，这些方程好像不能解释为什么不规则的涡流没有自发内收，进而收紧成为一个激烈漩涡，直到漩涡中心的能量密度变为无限大：一个灾难性的“奇点”。某人往大学教工中心旁的喷泉投掷一美分，或是在圣莫妮卡（Santa Monica）沙滩用一块石头打水漂，可能看上去能够导致连锁反应，这种反应可甚至能掀翻整个南加州。

事实并非如此，“却没人能准确地解释原因”，陶哲轩解释道。这个难题困扰了学界数十年之久，而陶哲轩最近正在尝试某种解题方法。这个方法既有奇思妙想，又有荒诞不经的一面，仿佛是《爱丽丝梦游仙境》里遗失的章节。

他说，想象有个聪明绝顶的人用纯水造了一台机器。它由相互制约的水流而非杆子和齿轮构成。陶哲轩说的时候用手在空中比划形状，就像一位魔术师。再来想象，这台机器能制造一台更快、更小型的复制品，后者还能延续此特性，如此循环，直到出现一台“占据极小空间并具有无限速度的机器，而它爆炸了。”陶哲轩并不是要提议打造这样一台机器——“我不知道怎么做！”他大笑着说。这只是一场思想实验，就像爱因斯坦当年推导狭义相对论时做的那样。但是陶哲轩解释道，如果他能在数学上证明原则上这样一台魔幻装置是可以实现的，那就意味着，事实上，水能爆炸。而在这个过程中，他也将解决纳维叶—斯托克斯问题的全局正则性问题（译者注： Navier-Stokes方程，描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程），而这个问题自它被提出之后一个多世纪以来，一直都是数学界最重要的研究内容之一。

四十岁的陶哲轩坐在床边的书桌旁，桌沿上的纸张随意摆放着。他踩着勃肯凉拖，穿着皱巴巴的蓝灰色的Polo衫与袖口翻起来的牛仔衫，身材瘦弱，一点也没有教授的架子。而他身后是一张杏色的沙发，沙发对着一块黑板，横跨整个房间，上面写满了数学符号。沙发没有贴着墙壁，为的是腾出空间停放他骑着上班的旧山地车。房间的另一边放着一个纤维板搭的书架，上面的书随意地堆着，里面包括他的两本著作《紧性与矛盾性（Compactness and Contradiction）》与《庞加莱的遗产：第一部（Poincaré’s Legacies, Part I）》，陶哲轩十几岁就开始著书，现在已经出版了16册。

出生在澳大利亚南部的陶哲轩，很早就小有名气了。家乡的报纸《广告者报（The Advertiser）》曾刊出头条：“小哲轩——七岁的高中天才”。剪报上还有一张他在高二数学课上的照片，照片中小个儿的陶哲轩穿着一件V领外套与白色高领毛衣，为了能和一位年龄是他两倍的姑娘共用一张桌子，他跪在了他的椅子上。他的老师告诉记者，他几乎教不了陶哲轩什么东西，因为陶哲轩总是比别的同学提前学两课时。（陶哲轩在两岁的时候就自学了阅读。）

几个月后，在学年刚过一半的时候，陶哲轩跳级开始上12年级的数学课。三年后，年仅十岁的陶哲轩成为国际数学奥林匹克竞赛史上最年轻的奖牌获得者。从此他开始频繁获奖，包括麦克阿瑟天才奖，与菲尔兹奖，后者被认为是数学界的诺贝尔奖。现在，许多人认为陶哲轩是他这一代最出色的数学家。

那个春日，我去他的办公室拜访他，当陶哲轩回想起他迄今为止的学术生涯，他说他对数学的观念从小就彻底地改变了。他用一种轻快的澳洲口音说道：“当我一点点长大的时候，我清楚我想成为一名数学家，但我并不知道那究竟是要干什么，我有点以为会有一个组织交给我要解决的问题。”但事实是，真正数学家做的事和学生时期的做题技巧和公式背诵完全不沾边。甚至那些大学时代经历了巨大成功的人也可能缺少数学家的某些素质。陶哲轩发现，对于数学这门古老的艺术而言，速度的重要性远远不及耐心和狡黠，以及爵士乐大师身上那种即兴发挥和合作的天赋。陶哲轩现在认为，年轻时的自己，那位震惊数学界的奇才，并不是真正地在做数学研究。“就好像你学音乐，却只是一直在练习音阶，学习乐理”，他将目光移向窗外，阳光洒在他的脸上，“我在很久之后才知道数学更深层的含义。”

出生于18世纪的德国数学家卡尔·弗雷德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）可能是有史以来最伟大得数学家，然而他并不近人情。他和自己的孩子也不打交道，并且把重要的研究成果束之高阁，认为它们不适合公开发表。这些研究成果在他逝世后于手稿中被发现。纵观古今，不乏各种数学家与周遭格格不入的轶事，从孤独一生而脾气暴躁的艾萨克·牛顿，到《美丽心灵》里的约翰·纳什（John Nash），尽管后者的成果改写了经济学甚至政治科学的教科书，但本人却饱受妄想症的困扰；再到最近，独自解决了庞加莱猜想的俄罗斯人格里高利·佩雷尔曼（Grigory Perelman），他拒绝领取菲尔兹奖，还任由指甲自由生长一直到卷起来。

相比之下，陶哲轩的一位同事认为他“超级正常”。他举止很绅士，又善于自省。他放弃了美国东海岸名校提供的职位，因为他偏好放松、平平淡淡的机构，在那里他可以享受加州的天气。而在课堂上，他能让数学变得有趣起来。他的学生说最近和同学开玩笑，陶哲轩颠覆了好莱坞的许多“疯子天才”形象。“他们永远也不可能给他拍电影，”他说。“他的生活安定，家庭幸福，他总是在微笑。”

这种特质可以追溯到他的童年，他经历了在外界眼中不过如此的“超级正常”的生活，事实却绝非如此。早些年，陶哲轩的家人大部分时间住在澳大利亚南阿德莱德的山麓一幢复式的砖房里，看得到圣文森特海湾。房子由陶哲轩的父亲比利（Billy）设计。他的父亲是一位儿科医生，1972年和陶哲轩的母亲格蕾丝（Grace）从香港移民澳大利亚，三年后的1975年，三个孩子中的长子陶哲轩出生。三个男孩——尼格尔（Nigel），特雷弗（Trevor）与“特里”——大家这么叫他——总是一起玩耍，而他们最大的消遣就是发明桌游。根据现供职于谷歌的弟弟尼格尔所言，他们通常挪用一块拼字游戏板，在上面的网格里放入拼字游戏片，棋子，中国跳棋，麻将牌和龙与地下城的骰子。故事情节通常照搬当时发行的电子游戏，比如超级马里奥兄弟，然后加上几层复杂而异想天开的规则。（特雷弗是少年象棋冠军，实力太强很难击败，所以孩子们给游戏增加了一些变数：每一轮从摇骰子开始，决定哪个棋子能被移动。）陶哲轩还是一个科幻小说的狂热爱好者，比如特里·普拉切特（Terry Pratchett）的《碟形世界（Discworld）》系列。上课无聊的时候，他还会随手为幻想的世界画些错综复杂的地图。

到了1985年春季，9岁的陶哲轩同时就读高中与附近的弗林德斯大学时，父母带他去美国转了三个礼拜，寻求顶尖数学家与教育学家的建议。他们在约翰·霍普金斯（Johns Hopkins）大学巴尔的摩校区与朱利安·史丹利（Julian Stanley）会面。朱利安·史丹利是出生于佐治亚州的心理学家，并在此地为天才少年建立了一个教育中心。陶哲轩是史丹利测试过的最具数学天赋的学生——他八岁的时候SAT的数学部分拿了760分（译注：SAT即美国高考，数学满分800分。）但史丹利建议父母把节奏放慢，给予给予陶哲轩时间发展情感与社会技能。

尽管步伐相对保守，陶哲轩还是在17岁的时候完成了硕士论文《右单演调和核产生的卷积算子(Convolution Operators Generated by Right-Monogenic and Harmonic Kernels）》并且转学去普林斯顿大学开始他的博士生涯。陶哲轩在申请普林斯顿大学时附上了一封信，来自德高望重的匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdos）。“我确信他会成为一位一流的数学家，还可能是一位伟大的数学家，我毫无保留地推荐他。”埃尔德什用打字机打出了这几段简明扼要的话。然而到达普林斯顿后，反而是陶哲轩这位少年天才被吓到了。博士第一年，后来成为普林斯顿教授的安德烈·怀尔斯（Andrew Wiles）宣布他证明了费马大定理（Fermat’s Last Theorem），这个传奇般的定理三百多年来无人能解。陶哲轩身边的同学总是在对他一无所知的数学领域发表高谈阔论。

陶哲轩彻夜在计算机房玩《文明》——一款以人类发展历史为背景的回合制策略游戏，这事在普林斯顿人尽皆知（他告诉我他现在不玩电脑游戏了，因为他的“完美主义者倾向”让他玩的时候根本停不下来）。在当地的一家漫画店，陶哲轩遇到了一群玩万智牌的朋友——这是一款奇幻背景的卡牌游戏，规则复杂，这是他第一次真正意义上与和他一般大的人玩耍。但陶哲轩也承认，这一定程度上也是为了逃避来自普林斯顿的压力。天才儿童面对他们无法出色解决的挑战时常常选择逃避。在陶哲轩来到普林斯顿前，他在弗林德斯大学的成绩已经下滑了。在一门量子物理学的课程中，老师告诉全班期末考试包括一篇关于量子物理学历史的论文。而当时12岁的陶哲轩完全不学习，当他坐在考场，开始答题时，他震惊地发现这篇文章要占一半成绩。“我记得当时我都哭了”，陶哲轩说，“监考老师不得不把我护送出考场”。陶哲轩挂科了。

在普林斯顿，危机以“会考”的形式出现了，这是一场覆盖范围广，难度大的口头测试，学生需要同时面对三名教授级别考官的提问（译者注：普林斯顿大学数学系的博士生需要在第一或第二学年参加并通过一场口头考试，才能继续博士学习。考试内容通常包括代数、实变函数分析和复变函数分析）。当其他学生用数月的时间来做习题并相互模考时，陶哲轩依旧选择他的常用策略来准备考试——临时抱佛脚。“我走进考场开始答题，很快就被测出了深浅。”陶哲轩说，“他们问的问题我没有能力回答。”随即，陶哲轩和他的导师埃利亚斯·斯坦（Elias Stein）见面，感觉他已经让导师失望了。陶哲轩还未真正努力过，而最困难的部分还在后面。

在博士课程学习的后期，学生们才开始体验数学家真正的工作内容——他们被要求用创新的方式证明一个定理，以此来创造知识。通常他们算了一张又一张纸，算到季节变换，却又回归原点，一无所获；亦或是找到了证明过程中微小的逻辑错误，意味着整个证明从一开始就注定失败。无所进展是数学研究的常态。数学天才及菲尔兹奖得主，普林斯顿教授查里斯·费弗曼（Charles Fefferman）把这个过程形容为“与魔鬼下棋”。不过，费夫曼解释道，与魔鬼下棋的规则有些特别：魔鬼远比你擅长下棋，但你想悔几步棋就能悔几步棋，而魔鬼不能。当你下第一局时，魔鬼理所当然地碾压了你。所以你悔了几步棋，试着换种下法，然后它又用同样的方式碾碎了你。如果你足够“狡猾”，你最终能找到一招，迫使魔鬼改变对策。你还是输了，不过——啊哈！——你找到了击败他的第一条线索。

陶哲轩最出名的是其对质数一项性质的证明。质数是所有仅能被1和其本身整除的大于1的整数。最小的几个质数是2,3,5,7和11。4不是质数，因为它能被2整除；9不是质数，因为它能被3整除。质数是数学的基石，就像化学中的元素一样，质数的组合构建起整个数学大厦。对于化学家来说，水分子是由两个氢原子和一个氧原子组成的。同样在数学中，数字12是由两个2和一个3构成的（12 = 2 x 2 x 3）。
质数是最基本的数，也是神秘的数。它们由简单的逻辑得出，却似乎随机地出现在数轴上。他们有序而又无序。它们被引入神秘主义理论和宗教仪式中，启发了音乐作品，甚至成为一本意大利小说《质数的孤独》的灵感。如是，数学家为何将质数奉为宇宙运行的基础之一就显而易见了。人们从数数开始建立起数的概念，然后自然而然地建立起加减乘除这些基本运算符的概念。有了这些概念，你就可以发现质数了。而惊人的是，科学家已经揭示了质数和量子力学之间深刻的联系，即使他们还无法解释为什么会这样。如果在遥远的某颗星星上存在着外星人的高等文明的话，它们说的肯定不是英语，它们可能发明了电视，也可能没有，但我们几乎可以确定，外星人数学家已经发现了质数，并为之着迷。

陶哲轩的研究与孪生质数猜想有关，这是由法国数学家波林那克（Alphonse de Polignac）于1849年提出的。如果我们在数轴上将质数圈起来，有时我们会发现两个质数之间仅相差2，比如5和7、11和13、17和19——这些就是“孪生质数”。越往后，孪生质数出现的频率就越低：2237和2239后是2267和2269；31391和31393之后的一对是31511和31513。欧几里得简洁而优雅地证明了质数有无穷多个，那么孪生质数呢？如果我们一直在数轴上找下去，我们总能找到下一对孪生质数吗？所有试图证明这一猜想的尝试都失败了。

当数学家遇到一个他们无法回答的问题，他们有时选择构建一个稍弱的命题，以期能够通过解决这一问题来获得一些灵感。这就是陶哲轩和牛津大学的本·格林（Ben Green）在2004年选择的方法。孪生质数是一对相差正好等于2的质数，而陶哲轩和格林则考察一个较弱的定义——一串相差正好为某常数的质数，不论这个常数是否为2（例如：质数3,7,11之间相隔都为4）。他们试图证明：不论一串相等间隔的质数串有多长（译者注：即包含多少质数），我们总能找到另一串更长的相等间隔的质数串。当年2月，在经过一些初期讨论后，格兰来到加利福尼亚大学洛杉矶分校拜访陶哲轩，仅仅过了两个月，他们就得出了令人振奋的成果，也就是现在的“格林-陶定理”，这可能是证明孪生质数猜想的一个方向。这一定理将数学中各个独立领域深刻地融合在一起，帮助建立了一个新的跨学科研究的领域——加性组合论。“它开辟了许多新的研究方向”，曾与陶哲轩合作过的英属哥伦比亚大学（译者注：University of British Columbia，简称UBC，又名“卑诗大学”）数学家伊莎贝拉·拉芭（Izabella Laba）说，“数学家又有很多事可以做了。”

这种跨协作能力是陶哲轩研究生涯的一项标志。绝大多数数学家倾向于专精一个领域，而陶哲轩则广泛研究，博采众长，和别人一起研究，作出新的发现。陶哲轩长期的搭档兼好友马库斯·吉尔（Markus Keel）将陶哲轩快速消化和利用各种数学思想的能力形容得像是科幻小说那样。他告诉我，陶哲轩工作起来让他想到《黑客帝国》，尼奥将中国功夫的数据下载到大脑里，然后睁眼说到：“我会功夫了”。陶哲轩2006年获得的菲尔茨奖的颁奖词称赞了他在多个数学领域中的贡献，并特别提到了他对霍恩猜想（Horn's conjecture）作出的“优美的研究成果”——这一成果是陶哲轩和他的朋友共同完成的，他在博士阶段曾与这个朋友一起玩桌上足球。这对陶哲轩而言是一个全新的世界，与他之前主攻的领域大相径庭。颁奖词这样说到：“这就像是一个杰出的英语小说家突然发表了一部优秀的俄语小说。”

格林-陶定理的发现震惊了整个数学界，因为这一问题离成功证明还有经年累月的工作要做。有一天，我去拜访陶哲轩，我们在战后风格的教工中心的露台上用午餐。陶先生一边吃着一小碟寿司一边告诉我，他和格林与其他人一样，都在继续研究与孪生质数相关的问题，且在最近取得了许多突破。他认为，离完整证明这一150年前提出的问题已经尽在咫尺，“可能10年就够了”。

在晚餐时间，我前往陶哲轩在校园西边角落的家。房子外墙白中带褐，有五间卧室。陶哲轩本来是要送他12岁的儿子威廉去上钢琴课的，但是威廉临时接到Go-Gurt（译者注：Go-Gurt是美国的酸奶品牌）的电话通知他去进行广告的拍摄（他早已在本田汽车的广告片中饰演“在汽车后座睡得香甜的男孩”一角）。在陶哲轩的妻子劳拉去接威廉回家时，他们四岁的女儿玛蒂在宽敞厨房的一隅刚刚吃完饭。她刚咬了一口甜点——一个甜甜圈，便从长凳上爬下来，在屋里到处乱跑，还一边把手举起一边欢声尖叫。
说起打通数学各个领域的人，你就会很自然地想到陶哲轩。在他获得菲尔茨奖的那段时间，他已经和30多个不同领域的数学家合作并研究出成果。从那时起，他也成为了多产的数学博客写手，带着绝对“非高斯的热情”（译者注：非高斯是随机变量里的术语，描述随机变量概率分布形式的对称性和陡峭性，在此文用来表示程度很高）在博客里赞赏别人的成果，分享自己爱用的研究技巧，记录他自己的研究进展并欣然回应评论里的纠错指正。他也在网上组织过“合作战线”来研究各种问题。曾与陶哲轩合作过的威斯康辛大学数学家乔丹·艾林伯格（Jordan Ellenberg）称赞陶哲轩是21世纪数学家的典范。“他总是在与人交流，善于把自己的工作和他人的工作联系起来。他是学术界网络中的一部分。”

拜访陶哲轩的时候，我只注意到他有一处数学教授的典型特征：他从小时候开始就常常心不在焉，至今依旧。当他还是小男孩时，他经常丢书，甚至把书包也丢掉；他也曾把衣服前后里外穿反，又或者是穿上了“鸳鸯袜”。（这也是他现在穿勃肯凉拖的原因，“因为又少了一个步骤”，他解释道。）当他带我在屋子里参观的时候，他的步履也略拙滞，就像是他并没兴趣好好走路一样。我提出要参观他的办公室时，他指了指在走廊尽头的一间不起眼的房间。现在他在这间办公室里完成的研究工作不像以前那么多了，他说，最近他在飞机上是效率最高的时候，因为他有几个小时完全不用理会邮件，也不用接见访客。

威廉回家了，劳拉紧随其后，之后我们就一起用晚餐：猪扒配番茄酱。这份封面上饰有泰迪熊的图案的食谱来自一本手写的笔记本，这是陶哲轩的母亲送给劳拉的礼物。威廉是一个很外向的孩子，Go-Gurt 的广告试镜很顺利。威廉今年读六年级，继承了父亲在数学上的天赋——他在线学过高中数学。但目前他真正的兴趣是写作，尤其是科幻类的作品；以及表演，尤其是即兴表演。他也是《我的世界》（译者注：《我的世界》即Minecraft，高自由度的沙盒游戏，让每一个玩家在三维空间中自由地创造和破坏不同种类的方块）的狂热粉丝，尽管他由于在升级盒模型的工具的时候不如黑客好手那样游刃有余而感到懊恼。有一次，威廉说他和他的朋友曾经尝试证明1=0来“黑”掉数学，后来却发现0不能做分母。陶哲轩听到后翻了个白眼。

证明1=0很可能徒劳无获，这无可置否，但是黑客思维在数学当中却是极为有用的。很久以前，数学家发明了一个数，该数的平方等于-1，这似乎违背了乘法法则。这个数同当时的数学主流格格不入，以至于这个数被命名为“虚数”。实际上，虚数是一个酷炫的发明，现代物理和工程学也缺它不可。

你对数学的最初印象可能让你误会了数学。初看这门学科就是在学习规则，学习怎样去应用老掉牙的把戏来得到答案：曲奇罐里剩下4块曲奇；球以每秒12.5英尺运动……然而，数学家真正要做的是去开拓。数学研究本质上是一项创造性活动。据说，上世纪初最具影响力的数学家大卫吉尔伯特（David Hilbert）知道有同事改行写小说时，打趣道：“想必是他的想象力不够做数学”。

数学之道在于抽象——打个比方，两个苹果和两个橙子的抽象共同点就是2。但是陶哲轩的研究工作也不是全然不可捉摸。他研究流体、光波和其他可以量化的物质，甚至是连读者都知道的的几何学。当问题最初不以这种直观可感的方式出现，他就会奋起改造之。在他研究生涯的早期，他曾纠结过波与波之间顶端相旋的问题。他试图构造出一个移动的坐标使得问题更加直观，就像是一个虚拟的摄像机稳定器那样。于是他躺在地上滚来滚去，试图更直观地“看见”问题。陶哲轩笑着说：“我姨妈进来发现我在满地打滚，当时我真的不知道怎么（向她）解释。”

最近陶哲轩开始研究水的爆炸是因为读到了一名哈萨克斯坦教授的研究，他宣称解决了纳维叶—斯托克斯方程，在看了证明后，陶哲轩感觉很确定这证明是错的，但他没有止于直觉，而是决定更进一步，说明用该教授的方法来证明问题注定不可能成功。他让同事将俄文的论文翻译成可供他理解的文本。随着对问题的深入，他的想象力就越来越得到激发。一部能自我复制的水做的装置成了他的灵感来源——从工程学的角度，陶哲轩得到了解决一个纯数学问题的灵感。

这一成就不仅解决了数学问题，也激励了其他数学家。很多人都觉得研究纳维叶—斯托克斯方程几乎不可能取得实质性的进展。陶哲轩告诉我，在多年前，他曾经发过博文对此意见表示赞同，而现在他又看到了曙光。他对于孪生素数猜想也有同样的感觉，这种感觉如同打破了那堵曾吓跑许多雄心勃勃的数学家的墙。外人看来，纳维叶—斯托克斯问题和孪生素数猜想仅仅是一个问题，但对于陶哲轩，以及千千万万个从事数学研究的人来说，它们更像是对手。它们奸猾狡诈，试图嘲讽陶哲轩告诉他他忽略了最明显的线索；或者引诱他还击，在快速试探未果后以不可思议的方式见招拆招躲开他们解题的努力。但现在，这个看似不可战胜的对手似乎露出了一些破绽。但陶哲轩之前也遇到过这种情况，以为找到了克敌制胜的机会，其实却是对手设下的陷阱。即便如此，陶哲轩还是说：“这个看似弱点的弱点，可能是另一个陷阱。做研究要学会怀疑，要小心翼翼。”

研究数学，兴奋在此，可怕亦在此。地下暗流涌动，好戏才刚刚开场。

原文：NYTimes
译者：黄一凡 胡圣博 程意
http://article.yeeyan.org/view/531444/466314