这一眼就看出来 m == n取最大啊！

@visvlee 但辅导小孩数学不能说我一眼看出来了啊

口算，2倍根号5 。用三角公式换元，m=根号10sina ，n=根号10cosa。m+n=根号10*根号2*sin（a+π/4）.最大值就是根号10*根号2=2根号5

心算两分钟，2根号五。数形结合，最大值就是当斜率为-1的直线与半径为根号10的圆相切时

或者直接用 m-n 括起来的平方大于等于0来做，得到mn小于等于1/2 m的平方 + n 的平方，也很简单

(m+n)^2+(m-n)^2=20，
(m+n)^2=20-(m-n)^2≤20
m+n≤2√5
是不是这样

@YURSONB 简单明了，果真大神

@paulkiyt 这个直接。
思路就是两元换一元，一元容易求极值

三角函数用正弦余弦平方和等于1做可以做，但是应该超纲了
均值不等式直接套用也属于超纲
但是均值不等式当n=2时，可以直接引导孩子推导出来，就不算超纲了

我喜欢用函数图像解题，该题可以看作是：直线与圆相交，求相交的动点到圆心最大值的问题。通过平移直线，可以得到直线与圆相切的时候，点到圆心距离最大，为圆的半径。且此时m=n

均值不等式，非要搞形象点就数形结合了，但对初中生来说有点难。

楼主想复杂了，常规解法不就是消元吗？
m^2+n^2=10
n=(10-m^2)^(1/2)
m+n=m+(10-m^2)^(1/2)
求导，另其等于0
1+1/2*(10-m^2)^(-1/2)*2m=0
(10-m^2)^(-1/2)*m=-1
m^2=10-m^2
m=5^(1/2)
代入m^2+n^2=10得n=m=5^(1/2)
故m+n最大值=2*5^(1/2)
单调性证明这里就省了

完全看不懂了，忘得一干二净

有么有数学思维，有没有知道数学发展史，有没有天分，都在这一题。

就是同长对角线下，什么矩形面积最大。当然是正方形
m+n 最大值转换为（m+n）^2最大值，楼上都只注意算，没讲清楚这个

@stargazer 同长对角线下，什么矩形周长最长。
你写错了

@Atlantis12000 你这个对初中生尊重吗，要是随便解题，这个题甚至不值一提

（m+n）^2=m^2+n^2+2nm
2nm≤m^2+n^2
（m+n）^2=m^2+n^2+2nm≤2（m^2+n^2）=20

根

@irving2016 没错，因为m^2+n^2是定值，mn最大就是（m+n)^2最大，而mn就是矩形面积